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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!

Para isso, vamos usar o teorema da variação total:

∫ a b F ' ( θ ) d θ = F b - F ( a )

Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida F . Depois, basta substituir θ por π / 3 e 0 e fazer o cálculo.

F = ∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )

Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ cossec 2 ⁡ x   d x = - cotg ⁡ x + C

∫ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

∫ cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x d x = - cossec ⁡ x + C

Também é legal manipularmos o integrando para acabarmos com o denominador. Repare que nenhuma das integrais conhecidas de funções trigonométricas possui denominador!

Passo 3

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Como 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

= ∫ sen ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ sen ⁡ θ d θ = - cos ⁡ θ + C

Então:

F θ = - cos ⁡ θ

F π 3 = - cos ⁡ π 3 = - 1 2

F 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

Portanto:

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + s e n θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = - 1 2 - - 1 = 1 2

Dica:

É importante conhecermos as principais identidades trigonométricas para simplificarmos os integrandos de funções trigonométricas.

Nesse caso, foi preciso conhecer a seguinte identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x

Outra identidade do mesmo tipo é:

cossec 2 ⁡ x = 1 + cotg 2 ⁡ x

Resposta

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2

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