UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 2.
- Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar essa questão e garantir aquela aprovação de milhões???
Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva essa integral esquisita aí, e pra isso, a ideia básica é olhar com calma a função que estamos precisando integrar e tentar descobrir o melhor método para fazer isso.
Então aqui vai uma dica muito importante: vamos testar se ao derivarmos uma parte da função, encontramos como resultado algo próximo a outra parte da função. Caso isso aconteça, significa que o melhor método para resolver essa integral é usando a substituição simples.
Show, vamos testar isso aqui e ver se rola, beleza?!
Passo 2
A integral que precisamos resolver é essa aqui:
Você concorda que esse é um pouco chatinho de integrar, mas seria mais fácil?
Então vamos chamar
Para facilitar a derivação, podemos transformar essa raiz em um expoente fracionário. Veja:
Maravilha, agora vamos derivar e ver o que dá.
Pra fazer essa derivada, usamos a regra do expoente que cai pra frente multiplicando e perde uma unidade. Assim:
Que resolvendo se torna:
Aqui, como nosso expoente é negativo, podemos inverter a potência para torna-lo positivo ficado com:
E por fim, podemos voltar para a forma de raiz essa potencia que tem expoente fracionário.
Opa!!! Agora vamos ver o que a gente conseguiu até aqui, pra ver se a gente consegue substituir.
Passo 3
Estamos querendo integrar
E para isso chamamos
E
Agora, basta fazer a substituição na integral.
Repare que em nossa integral precisaremos fazer:
E ela se tornará:
Agora ficou bem fácil, porque a integral de é o próprio , então teremos:
Show de bola. Integral resolvida, mas não se esqueça que nossa integral original estava em e não em , por isso nós não podemos esquecer de voltar para a variável na resposta.
Lembrando que:
Assim, ficaremos com:
E prontinho. Essa fechou, partiu próxima?!