UFPE; Cálculo Diferencial e Integral I – AV3 – Ex. 2c
2) Calcule as integrais definidas abaixo:
c)
Passo 1
Bomm dia, boa tarde, boa noiteee pessoas lindas!! Se vocês estão perdidinhos nessa questão, caíram no lugar certo. É aqui que vamos resolver ela da maneira mais tranquila possível, igual esse patinho no balanço dele.
Uhuul, bora lá então!
Nesse exercício precisamos calcular a integral definida dada pelo enunciado. Ou seja, vamos executar a integração da função conforme as regras e métodos que já conhecemos e, no final, vamos aplicar o intervalo de integração que também foi informada pelo enunciado.
Legal, mas como fazemos isso? Como calculamos essa integral?
Apesar de parecer confusa, essa integral pode ser resolvida sem muito segredo. O que já podemos observar de cara é que os limites de integração são simétricos ( e ). Toda vez que isso ocorrer é interessante que verifiquemos se a função é par ou ímpar.
Nossa, desde quando funções tem par ou ímpar? E por que isso é importante?
Quando uma função tem a condição de para qualquer que seja o valor de pertencente ao intervalo de integração, dizemos que ela é ímpar. E, se tratando de integrais, observamos a seguinte regra:
Ou seja, se integramos uma função ímpar com limite de integração simétrico, o resultado é igual a .
Agora que relembramos tudo isso, vamos verificar se nossa função é par ou ímpar?
Passo 2
Como vimos no Passo 1, para que a função seja ímpar devemos encontrar .
Legal, então vamos começar por :
Como um valor negativo ao cubo continua negativo:
Como um valor negativo elevado a um expoente par é positivo:
Aplicando propriedades de radicais, temos que
Aplicando propriedades de trigonometria, temos que
Passo 3
Agora vamos calcular . Para isso, calcularemos e depois encontraremos o oposto.
E seu oposto :
Perceba que e como o nosso intervalo de integração é simétrico, podemos dizer que:
Opa, opaaa! Temos aqui um aluno topíssimo que conseguiu vencer mais uma questãooo!
Bora aproveitar esse embalo e resolver mais? Hehehehe