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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

4)

∫ x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x

Passo 1

Bem, se você reparar, a derivada do arco-tangente é justamente 1 dividido por aquele denominador, sugerindo uma integração por partes:

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Onde o u no nosso caso sempre é quem vamos derivar no caso a arco-tangente, e o d v é todo resto que vamos integrar, saca?

u = a r c t a n   x  

d v = x x 2 + 1 3   d x

Passo 2

A segunda tarefa é encontrar o d u derivando o u e o v integrando o d v :

  1. u = a r c t a n   x       →      

    2.   d u = 1 x 2 + 1 d x

  2. d v = x x 2 + 1 3   d x       →      

∫ d v = ∫ x x 2 + 1 3   d x ⇒

v = ∫ x x 2 + 1 3   d x ⇒

fazendo uma substituição do tipo x 2 + 1 = a ...

d a = 2 x   d x   →           x   d x = d a 2

v = ∫ x x 2 + 1 3   d x = 1 2 ∫ 1 a 3   d a =

v = 1 2 - 1 2 a 2 = - 1 4 a 2

Voltando para a variável original...

v = - 1 4 x 2 + 1 2

Show de bola! Agora é só trocar na fórmula de integração por partes mesmo:

∫ u ⋅ d v = u v - ∫ v   d u     →

∫ a r c t a n   x     x x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 2 - ∫ - 1 4 x 2 + 1 2   1 x 2 + 1 d x

∫ a r c t a n   x     x x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 1 4 ∫ 1 x 2 + 1 3   d x

Passo 3

Bem, o nosso grande problema agora é como encontrar a solução desta integral que é resquício da integração por partes

∫ 1 x 2 + 1 3   d x

Você pode ter pensado em fazer uma substituição simples, mas fazer isso não uma boa, afinal quando derivarmos x 2 , vai aparecer um 2 x d x e a gente não tem esse x d x lá em cima.

Mas como temos uma soma de x 2 com 1 , podemos realizar uma substituição trigonométrica, afinal sabemos que

t a n 2 t   + 1 = s e c 2 t  

Olha como o denominador e essa expressão da trigonometria são parecidas! :D Então se substituirmos

x = t a n   t  

e o d x ...

d x = s e c 2   t   d t

Logo...

∫ 1 x 2 + 1 3   d x = ∫ 1 t a n 2 t   + 1 3 s e c 2 t   d t   =

∫ 1 s e c 2 t   3 s e c 2 t   d t   = ∫ 1 s e c 6 t   s e c 2 t   d t   =

∫ 1 s e c 4 t   d t  

A expressão da secante é...

s e c   t   = 1 c o s   t  

Então...

∫ 1 s e c 4 t   d t   = ∫ 1 1 c o s 4 t   d t   =

∫ c o s 4 t   d t  

Portanto o que temos que fazer agora basicamente é calcular essa integral aí e voltar para a integral original. Bora :D

Passo 4

Para resolver essa integral, como ela é famosinha, recomendo você já ter em mente uma relação muito útil da trigonometria que é

c o s 2 t   = 1 +   c o s   2 t   2

Jogando na integral e trabalhando com o algebrismo da coisa

∫ c o s 4 t   d t   = ∫ 1 +   c o s   2 t   2 2 d t   =

1 4 ∫ 1 + 2   c o s   2 t   + c o s 2 2 t   d t   =

Substituindo novamente aquele cosseno ao quadrado ali, mas dessa vez lembrando que temos 2 t como argumento, então na substituição ele duplica...

1 4 ∫ 1 + 2   c o s   2 t   + 1 +   c o s   4 t   2 d t   =

1 4 ∫ 1 + 2   c o s   2 t   + 1 2 +   c o s   4 t   2 d t  

1 4 ∫ 3 2 + 2   c o s   2 t   + c o s   4 t   2 d t  

Essas integrais já são diretas...

1 4 3 2 t + 2   s i n   2 t   2 + s i n   4 t   2 ⋅ 4 =

1 4 3 2 t + s i n   2 t   + s i n   2 2 t   8 =

Lembrando que s i n   2 θ   = 2   s i n   θ   c o s   θ  

1 4 3 2 t + 2   s i n   t   c o s   t   + 2   s i n   2 t   c o s   2 t   8 =

E que c o s   2 θ   = c o s 2 θ   - s i n 2 θ   ...

3 8 t + s i n   t   c o s   t   2 + s i n   t   c o s   t   c o s 2 t   - s i n 2 t   16

Voltando para a variável original lembrando que x = t a n   t   , então t = a r c t a n   x   ... Mas dentro do seno e do cosseno, não vamos trocar pra não ficar feio, mas saiba que essa relação é válida, heim!

∫ 1 x 2 + 1 3   d x = 3 8 a r c t a n   x   + s i n   t   c o s   t   2 + s i n   t   c o s   t   c o s 2 t   - s i n 2 t   16

Passo 5

Pegando esse resultado individual e voltando para a integração por partes que queríamos laaaaá no passo 2...

∫ a r c t a n   x     x x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 1 4 ∫ 1 x 2 + 1 3   d x

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 1 4 3 8 a r c t a n   x   + s i n   t   c o s   t   2 + s i n   t   c o s   t   c o s 2 t   - s i n 2 t 16 + C

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + s i n   t   c o s   t   8 + s i n   t   c o s   t   c o s 2 t   - s i n 2 t   64 + C

Cara! Essa basicamente já é a resposta, mas ela não está nada elegante certo?

O legal é que como arco-tangente é um arco, um ângulo cuja tangente é x , podemos descobrir quem é esse seno construindo um triângulo retângulo com a característica de ter a tangente, valendo x ... (lembre-se que chamamos de t esse arco)

Repare que esse triângulo satisfaz perfeitamente a condição de t a n t a n   t   = x ou t = a r c t a n a r c t a n   x   . Completando por Pitágoras...

O seno de t então é...

s i n   t   = x x 2 + 1

Enquanto que o cosseno

c o s   t   = 1 x 2 + 1

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + s i n   t   c o s   t   8 + s i n   t   c o s   t   c o s 2 t   - s i n 2 t   64 + C

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + x x 2 + 1 1 x 2 + 1 8 + x x 2 + 1 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 2 - x x 2 + 1 2 64 + C

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + x 8 x 2 + 1 2 + 1 64 x x 2 + 1 2 1 x 2 + 1 2 - x 2 x 2 + 1 2 + C

∫   x   a r c t a n   x   x 2 + 1 3 d x = - a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + x 8 x 2 + 1 2 + 1 64 x x 2 + 1 2 1 - x 2 x 2 + 1 2 + C

Resposta

- a r c t a n   x   4 x 2 + 1 + 3 32 a r c t a n   x   + x 8 x 2 + 1 2 + 1 64 x x 2 + 1 2 1 - x 2 x 2 + 1 2 + C

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