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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integrais Trigonométricas

Calcule as integrais abaixo:

∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ ( 3 x ) d x

Passo 1

Não tem mistério! O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C , marujo)!

A princípio, a integral não é óbvia e não pode ser calculada sem usarmos um método de integração.

Não se nota nenhuma substituição óbvia e trata-se de um integrando composto por funções trigonométricas. Vamos tentar usar uma integração trigonométrica.

Passo 2

∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ 3 x d x

Sabemos que:

cos 2 ⁡ x = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x )

Então, vamos usar que:

cos 2 ⁡ ( 3 x ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 6 x )

Aplicando:

∫ cos ⁡ x ⋅ 1 2 1 + cos ⁡ 6 x d x = ∫ 1 2 cos ⁡ x d x + ∫ 1 2 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ ( 6 x ) d x

Passo 3

Para calcular a segunda integral, vamos usar outra identidade trigonométrica:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

Aplicando:

= ∫ 1 2 cos ⁡ x d x + 1 2 ∫ 1 2 [ cos ⁡ 7 x + cos ⁡ 5 x ] d x =

= 1 2 sen ⁡ ( x ) + 1 4 ⋅ 1 7 sen ⁡ 7 x + 1 4 ⋅ 1 5 sen ⁡ ( 5 x ) + C =

= 1 2 sen ⁡ ( x ) + 1 28 sen ⁡ 7 x + 1 20 sen ⁡ ( 5 x ) + C

Resposta

∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ ( 3 x ) d x = 1 2 sen ⁡ ( x ) + 1 28 sen ⁡ 7 x + 1 20 sen ⁡ ( 5 x ) + C

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