UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1j
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
E quando você vir um integrando que não tem função-derivada da função dentro dele (que é nosso caso) você testa o método de integração por partes! Como vimos lá na lista de integração por partes, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando em uma parte para integrar e outra para derivar, sempre usando nosso LIATE:
Lembrando que no método por partes precisamos integrar uma parte do integrando, e sabemos a integral de !
Usando o método de integração por partes, com
Poderemos integrar essa coisa!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Relembrar é viver, então vamos ao método de por partes:
Aí como comentei no passo anterior, nossa escolha para e os valores de são:
agora vamos aplicar na fórmula do método:
Vamos guardar esse resultado!
Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular aquela integral que surgiu na direita! Vamos lá?
Passo 3
A integral que surgiu na direita é:
Agora anota aí um ponto bem importante em trigonométricas: quando o integrando tiver tangente e secante, optar sempre por transformar tudo em secante! Tudo que for possível!
Então aqui vamos usar a identidade trigonométrica que envolve a tangente e a secante:
E substituir na integração:
Vamos devolver esse resultado no passo 2?
Passo 4
Resgatando o resultado do passo 2:
E substituindo a integral do lado direito:
Parece que ficou maior, mas te garanto que ficou melhor! Vamos retirar as integrais dos colchetes:
Olha só o que temos! Achamos a mesma integral que estamos calculando do lado esquerdo! Então podemos juntar elas:
E resolver a integral da secante do lado direito (ela é tabelada! Uhul!):
Agora é só isolar a integral da secante ao cubo:
Não esquece de acrescentar o no final! Estamos calculando uma integral indefinida!
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?