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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral

∫ x 2 tg 3 ⁡ x 3 sec 4 ⁡ x 3 d x

Passo 1

Repara que o termo x 3 aparece dentro da tangente e dentro da secante. Além disso, tem um x 2 também na integral. Então a boa vai ser fazer a substituição:

u = x 3 → d u = 3 x 2 d x

→ x 2 d x = 1 3 d u

Assim a integral fica:

1 3 ∫ tg 3 ⁡ u sec 4 ⁡ u d u

Passo 2

Caímos numa integral trigonométrica do tipo

∫ tg m ⁡ u sec n ⁡ u d u

Com m ímpar ( m = 3 ) e n par ( n = 4 ).

Temos até duas formas de resolver! Uma seria fazer a substituição

v = tg ⁡ u → d v = sec 2 ⁡ u d u

E a outra substituição possível é:

v = sec ⁡ u → d v = sec ⁡ u tg ⁡ u d u

Passo 3

Optando pela primeira substituição ( v = tg ⁡ u ), temos:

∫ tg 3 ⁡ u sec 4 ⁡ u d u = ∫ tg 3 ⁡ u sec 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u d u = ∫ v 3 sec 2 ⁡ u d v

Usando que:

sec 2 ⁡ u = 1 + tg 2 ⁡ u = 1 + v 2

Vai sobrar a integral:

∫ v 3 1 + v 2 d v = ∫ v 3 + v 5 d v = v 4 4 + v 6 6 + C

Passo 4

Agora vamos voltar da variável v pra u (lembrando também do 1 3 que estava multiplicando a integral):

1 3 ∫ tg 3 ⁡ u sec 4 ⁡ u d u = 1 3 v 4 4 + v 6 6 + C

= tg 4 ⁡ u 12 + tg 6 ⁡ u 18 + C

Passo 5

Voltando pra x (lembrando que u = x 3 ):

∫ x 2 tg 3 ⁡ x 3 sec 4 ⁡ x 3 d x = tg 4 ⁡ x 3 12 + tg 6 ⁡ x 3 18 + C

Resposta

tg 4 ⁡ x 3 12 + tg 6 ⁡ x 3 18 + C

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