UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA3 – Questão 3c
Calcule as integrais das funções abaixo:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui
e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...
Temos como integrando uma função trigonométrica inversa e normalmente integramos com alguma técnica (substituição e por partes) e nos casos mais tranquilos integramos direto (sabemos a integral do arco tangente, lembra?), só que no nosso caso temos uma exponencial no seu argumento, e fora do integrando também! Mas então o que fazer?
A ideia aqui é usar uma substituição simples para que esse integrando fique mais simples (lembrando que a derivada da exponencial é ela mesma) e assim integrar usando a técnica de integração mais apropriada!
Belezinha até aqui?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte
Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho
Note que temos e , e se usarmos e aí que está nosso pulo do gato!
Vamos fazer essa substituição!
E agora substituir no nosso integrando
Tudo bem até aqui?
Assim nossa integral fica
Agora sim! Podemos usar a técnica de partes para integrar! Isso porque temos um produto de uma função trigonométrica inversa com um polinômio!
Tranquilo? Vamos lá?
Passo 3
Bora escolher quem será nosso e !
Para a escolha do temos uma listinha, nosso famoso LIATE
- L: logaritmo
- I: inversa trigonométrica
- A: algébrica (polinômio)
- T: trigonométrica
- E: exponencial
Seguindo essa lista, você vai descobrir quem escolher para ! No nosso caso, , assim
Beleza?
Relembrando a integração por partes
Aplicando para nosso caso temos o seguinte
Beleza?
Belezinha? Vamos integrar?
Passo 4
Precisamos resolver agora essa integral aqui:
O termo mais à esquerda já está integrado, precisamos resolver só o termo mais à direita! E aqui vai um truque sujo! #ALERTATRUQUESUJO
Quando você vir esse integrando
A ideia é somar e subtrair no numerador! Assim vai poder dividir em duas frações e integrar com mais facilidade! Saca só
Bem mais tranquilo né?
Agora é só substituir e integrar!
Terminamos? NÃO!
Nossa integral original é em ! Então precisamos retornar para a variável e somar a constante de integração, afinal nossa integral é indefinida!
Sabendo que
Daí nosso resultado fica
Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?