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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral indicada, utilizando a técnica de integração por partes

∫ csc 5 ⁡ x   d x

Passo 1

Vamos lá para a nossa integral por partes

∫ csc 5 ⁡ x   d x = ∫ csc 3 ⁡ x csc 2 ⁡ x   d x

Vamos escolher

u = csc 3 ⁡ x

E

d v = csc 2 ⁡ x

Então

d u = - 3 csc 2 ⁡ x csc ⁡ x cot ⁡ x   d x

v = - cot ⁡ x

Passo 2

Agora podemos aplicar isso à nossa formulinha da integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ csc 3 ⁡ x csc 2 ⁡ x   d x = csc 3 ⁡ x .   - cot ⁡ x - ∫ - cot ⁡ x - 3 csc 2 ⁡ x csc ⁡ x cot ⁡ x   d x

∫ csc 3 ⁡ x csc 2 ⁡ x   d x = - cot ⁡ x csc 3 ⁡ x - 3 ∫ csc 3 ⁡ x cot 2 ⁡ x   d x

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica

cot 2 ⁡ x = csc 2 ⁡ x - 1

∫ csc 3 ⁡ x csc 2 ⁡ x   d x = - cot ⁡ x csc 3 ⁡ x - 3 ∫ csc 3 ⁡ x csc 2 ⁡ x - 1   d x

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - cot ⁡ x csc 3 ⁡ x - 3 ∫ csc 5 ⁡ x   d x + 3 ∫ csc 3 ⁡ d x

4 ∫ csc 5 ⁡ x   d x = - cot ⁡ x csc 3 ⁡ x + 3 ∫ csc 3 ⁡ d x

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x + 3 4 ∫ csc 3 ⁡ d x

Passo 4

Para resolver ∫ csc 3 ⁡ d x

Precisaremos fazer outra integral por partes

u 2 = csc ⁡ x

d u 2 = - cot ⁡ x csc ⁡ x   d x

E

d v 2 = csc 2 ⁡ x   d x

v 2 = - cot ⁡ x

Aplicando na formula de integral por partes

∫ u 2   d v 2 = u 2 v 2 - ∫ v 2   d u 2

∫ csc 3 ⁡ d x = - cot ⁡ x csc ⁡ x - ∫ - cot ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x d x

∫ csc 3 ⁡ d x = - cot ⁡ x csc ⁡ x - ∫ cot 2 ⁡ x csc ⁡ x d x  

Aplicando de novo a identidade trigonométrica cot 2 ⁡ x = csc 2 ⁡ x - 1

∫ csc 3 ⁡ d x = - cot ⁡ x csc ⁡ x - ∫ csc 2 ⁡ x - 1 csc ⁡ x d x  

∫ csc 3 ⁡ d x = - cot ⁡ x csc ⁡ x - ∫ csc 3 ⁡ x d x + ∫ csc ⁡ x d x  

2 ∫ csc 3 ⁡ d x = - cot ⁡ x csc ⁡ x + ∫ csc ⁡ x d x  

∫ csc 3 ⁡ d x = - 1 2 cot ⁡ x csc ⁡ x + 1 2 ∫ csc ⁡ x d x  

Passo 5

Voltando para a nossa expressão do passo 4

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x + 3 4 ∫ csc 3 ⁡ d x

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x + 3 4 - 1 2 cot ⁡ x csc ⁡ x + 1 2 ∫ csc ⁡ x d x  

Mas como

∫ csc ⁡ x d x   = - ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x

Então

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x + 3 4 - 1 2 cot ⁡ x csc ⁡ x - 1 2 ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x - 3 8 cot ⁡ x csc ⁡ x - 3 8 ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x + C

Não esquece de colocar a constante de integração no final. Isso mesmo, o final. Ufa! Parece enorme mas vai detalhe a detalhe que vai dar tudo certo.

Resposta

∫ csc 5 ⁡ x   d x = - 1 4 cot ⁡ x csc 3 ⁡ x - 3 8 cot ⁡ x csc ⁡ x - 3 8 ln ⁡ cot ⁡ x + csc ⁡ x + C

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