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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a nossa integral

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x sen ⁡ x   d x

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x ( 1 - cos 2 ⁡ x ) sen ⁡ x   d x

Passo 2

Beleza! Agora vamos usar a técnica da substituição para resolver

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x   d x

Então ficamos com

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = - ∫ 1 0 u ( 1 - u 2 )   d x

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = ∫ 1 0 u   d u - ∫ 1 0 u 5 / 2   d u

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = - 2 3 u 3 / 2 1 0 + 2 7 u 7 / 2 1 0

Refazendo a substituição, e voltando pros limites de integração originais:

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = - 2 3 cos 3 / 2 ⁡ x   0 π / 2 + 2 7 cos 7 / 2 ⁡ x 0 π / 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   d x = - 0 + 2 3 + 0 - 2 7 = 8 21

Resposta

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