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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integrais Trigonométricas - UFRJ

Calcule as seguintes integrais

c) ∫ s e n ³ ( x ) c o s 2 x d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ s e n ³ ( x ) c o s 2 x d x

Pra cima gente! Vamos fazer uma leve marotagem:

∫ s e n ³ ( x ) c o s 2 x d x = ∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) c o s 2 x d x

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) c o s 2 x d x = ∫ s e n ( x ) ( 1 - c o s 2 x ) c o s ² ( x ) d x

Podemos substituir:

u = cos ⁡ x

d u = - s e n ( x ) d x

- d u s e n x = d x

Passo 2

Voltemos:

∫ s e n x 1 - u 2 u 2 - d u s e n x = - ∫ ( 1 - u 2 ) u ² d u

- ∫ 1 - u 2 u 2 d u = ∫ ( - u 2 + u 4 ) d u

∫ ( - u 2 + u 4 ) d u = - u 3 3 + u 5 5 + C

Opa, mas u = cos ⁡ x :  

= - u 3 3 + u 5 5 + C = - c o s ³ ( x ) 3 + c o s 5 x 5 + C

The end 😉

Resposta

c) ∫ s e n 3 x c o s 2 x d x = - c o s ³ ( x ) 3 + c o s 5 x 5 + C

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