Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Cara, temos um produto de seno e cosseno e os dois tem expoentes maiores que 1. A dica é ver se algum deles tem expoente ímpar. A gente tá com sorte, porque os dois estão, né haha.
E aí o que a gente faz? A ideia é pegar o termo que tá ímpar e separar um carinha em produto. Por exemplo, para seno a gente pode fazer
E para cosseno a gente poderia fazer:
Maaas, a gente só precisa fazer UMA dessas transformações na nossa integral, tá? Só mostrei as duas para cê ver que tem dois caminhos aí para resolver essa bonita. Vou usar o segundo caminho que a gente fez. Então a gente tem
Passo 2
O que a gente faz agora é reescrever o termo que ficou elevado a um expoente par fazendo aparecer um termo elevado ao quadrado. Nosso termo com expoente par é:
E a gente pode escrever ele assim:
Aí a gente usa a identidade trigonométrica fundamental (é bom gravar ela, tá?):
E substitui isso ali no nosso termo e depois na integral:
Passo 3
E para que a gente deu essa volta toda você pode se perguntar. Cara, repara que agora na nossa integral a gente tem uma expressão estranha em função de seno e um cosseno bonitinho ali sozinho em produto com isso tudo.
De frente a esse cenário, o que a gente faz? Uma substituição simples! Vamos chamar a função que está na expressão estranha de , no nosso caso, fica:
Substituindo essas coisinhas na nossa integral e usando a regrinha de integrar polinômios:
E aí a gente volta para , lembrando que :
Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!