UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA3 – Questão 3a
Calcule as integrais das funções abaixo:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui
e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...
Temos como integrando uma razão de polinômios com senos, mas não tem nenhum cosseno para usarmos a técnica de substituição (lembrando que cosseno é a derivada do seno). Mas será mesmo que não tem um cossenozinho escondido?
A ideia aqui é usar alguma identidade trigonométrica que nos ajude a trocar algum seno do integrando pelo equivalente que tenha cosseno! E assim, vamos conseguir usar a técnica de substituição e com bastante sorte vamos ter uma integral mais fácil para resolver!
Belezinha até aqui?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte
Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho
Note que temos senos com argumentos diferentes, e em especial tem o , e aí que está nosso pulo do gato!
Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que envolve o seno do arco duplo:
E agora substituir no nosso integrando
Agora sim! Temos seno e cosseno! Podemos usar a técnica da substituição para integrar!
Assim nossa integral fica
Ficou melhor?
Embora não pareça, ficou sim! Agora temos que resolver uma integral com uma razão de polinômios, em que o grau do denominador é maior do que o numerador: FRAÇÕES PARCIAIS!
Sim! Isso mesmo! Vamos decompor esse integrando em frações parciais para poder integrar com mais facilidade!
Tranquilo? Vamos lá?
Passo 3
Bora transformar nosso integrando em frações parciais:
Temos que nosso denominador já está separado em monômios, todos com grau um, então nossa separação vai ficar assim
Organizando os termos com o mesmo grau temos
Beleza?
Um polinômio só é igual ao outro quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, então temos duas equações com as constantes A e B que precisam ser satisfeitas:
Da segunda equação temos o seguinte
E substituindo na primeira temos
E retornando à segunda equação conseguimos achar :
Assim nosso integrando em frações parciais fica assim:
Belezinha? Vamos integrar?
Passo 4
Precisamos resolver agora essa integral aqui:
Bem mais tranquilo né? As duas são integrais do logaritmo, ambas deslocadas, e integrando temos
Terminamos? NÃO!
Nossa integral original é em ! Então precisamos retornar para a variável e somar a constante de integração, afinal nossa integral é indefinida!
Sabendo que
Daí nosso resultado fica
Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?