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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral

∫ sen ⁡ x cos ² ⁡ x + 3 cos ⁡ x d x

Passo 1

Para começar, vamos simplificar o integrando. Note que podemos colocar cos ⁡ x em evidencia no denominador.

∫ sen ⁡ x cos ² ⁡ x + 3 cos ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x ( cos ⁡ x + 3 ) d x

Ta vendo o que eu estou vendo? É isso mesmo, encontramos um sen ⁡ x cos ⁡ x , ou seja, tan ⁡ x !

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x ( cos ⁡ x + 3 ) d x = ∫ tan ⁡ x cos ⁡ x + 3 d x

Passo 2

Passo 3

Agora chegamos na parte boa, a substituição! Vamos fazer o seguinte:

cos ⁡ x = 1 sec ⁡ x

Então

∫ tan ⁡ x cos ⁡ x + 3 d x = ∫ 1 3 sec ⁡ x + 1 sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Bom, finalmente podemos mudar de variável, se liga:

u = sec ⁡ x

d x = 1 sec ⁡ x tan ⁡ x d u

Portanto,

∫ 1 3 sec ⁡ x + 1 sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ 1 3 u + 1 d u

Passo 4

Pensou que tava no final? Que nada hahaha ainda tem mais uma substituição a ser feita, olha só

v = 3 u + 1

d u = 1 3 d v

Então

∫ 1 3 u + 1 d u = 1 3 ∫ 1 v d v

Agora sim podemos resolver a integral!

1 3 ∫ 1 v d v = 1 3 ln ⁡ v + C

E voltando pra variável original temos

1 3 ln ⁡ v + C = 1 3 ln ⁡ ( 3 u + 1 ) + C = ln ⁡ 3 sec ⁡ x + 1 3 + C

Resposta

ln ⁡ 3 sec ⁡ x + 1 3 + C

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