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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Vamos resolver mais uma integral trigonométrica?

O enunciando forneceu essa integral,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Para gente resolver ela, a ideia será usar a identidade trigonométrica pra eliminar qualquer tangente da expressão, deixando somente as secantes e depois disso resolver a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Para reescrever essa integral, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Substituindo na integral, ficamos com

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⋅ sec 3 ⁡ x d x =

A gente pode ajeitar essa integral ficando com,

= ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Agora vamos resolver essas duas integrais!

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte

∫ sec 3 ⁡ x d x

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, fazendo

u = sec ⁡ x → d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tan ⁡ x

Aplicando,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ficamos com,

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x =

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Aplicando a identidade trigonométrica   tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1 , ficamos com

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Repara que o termo ∫ sec 3 ⁡ x d x aparece nos dois lados da igualdade. Com isso, ficamos com,

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x d x

Calculando a integral de sec ⁡ x

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x |

Logo,

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Passo 4

Agora vamos resolver a parte

∫ sec 5 ⁡ x d x

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, fazendo

u = sec 3 ⁡ x → d u = 3 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tan ⁡ x

Aplicando,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ficando com,

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Aplicando a identidade trigonométrica   tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1 , ficamos com

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

A integral ∫ sec 3 ⁡ x d x nós calculamos no Passo 3, então vamos só substituir,

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 5 ⁡ x d x + 3 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Repara que o termo ∫ sec 5 ⁡ x d x aparece nos dois lados da igualdade. Com isso, ficamos com,

4 ∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Logo,

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + D

Passo 5

Recapitulando, nós tínhamos essa integral para resolver,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Substituindo os resultados encontrados,

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

∫ sec 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Ficamos com,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x + 3 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x - 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + K

Onde K é constante de integração.

Arrumando essa expressão, temos que

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 1 8 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + K

Resposta

1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 1 8 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + K

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