UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1g
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
E aqui é o suco do pior truque sujo: identidades trigonométricas! E é isso que vamos usar aqui! Pois esse integrando não apresenta assim, logo de cara, uma função – derivada dessa função no integrando. Isso porque, embora tenha seno e cosseno, eles têm a mesma potência, e aí não temos a função e a derivada.
mas calma! Falei para você do truque sujo né? Então, aqui vamos usar as identidades trigonométricas para arrumar esse integrando!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é
Vamos rescrever esse integrando usando as identidades, mas quais? Essas aqui você precisa anotar!
Vamos usar a terceira e quarta:
Beleza? Vamos então rescrever nosso integrando:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Passo 4
Mas se colocarmos esse resultado no integrando e tentarmos resolver, vai ficar complicado:
Mas então, o que fazer? IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA DE NOVO!
Isso mesmo! Está vendo aquele ? Então é nele que vamos aplicar a identidade do cosseno! A mesma que usamos no passo anterior! Mas nota que a identidade duplica o argumento do cosseno, então teremos um !
E agora substituindo na integral temos:
Agora é #partiu integrar!
Passo 5
Depois de todas essas identidades (crise de identidade, temos?) nossa integral ficou essa aqui:
Bem mais tranquila de resolver né? Agora é só integrar:
Aí temos o resultado final:
Não esquece de colocar aquele no final! Estamos falando de uma integral indefinida!
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?