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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Exercício 301234567891011121314151617181920212223242526272829313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 4 – Alternativa c)

Usando que

cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

calcule:

c )   ∫ cos ⁡ n x cos ⁡ ( m x ) d x

Passo 1

Bora para a última agora! Saca só, não temos um número específico para identificar com a relação do enunciado, mas isso não muda a forma como vamos trabalhar, belezinha?

Passo 2

A primeira coisa é reescrever o nosso integrando utilizando a dica no enunciado! Temos que a = n x e b = m x . Ou seja, temos que:

∫ cos ⁡ n x cos ⁡ ( m x ) d x = ∫ 1 2 cos ⁡ ( ( n + m ) x ) + cos ⁡ ( ( n - m ) x ) d x

Precisamos aplicar propriedades do cosseno e da integração, belezinha?

Passo 3

De cara, nós temos que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = sin ⁡ a x a + C         ( 2 )

Sem esquecer da constante de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Usando a propriedade (3), temos que:

∫ 1 2 cos ⁡ ( ( n + m ) x ) + cos ⁡ ( ( n - m ) x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ ( ( n + m ) x ) d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( ( n - m ) x ) d x

Podemos aplicar (2) da seguinte forma:

1 2 ∫ cos ⁡ n + m x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ n - m x d x = →

→ = 1 2 1 n + m sin ⁡ n + m x + C 1 + 1 2 1 n - m sin ⁡ ( ( n - m ) x ) + C 2

Vamos só reescrever um pouquinho! E já era! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

1 2 1 n + m sin ⁡ n + m x + C 1 + 1 2 1 n - m sin ⁡ n - m x + C 2 = →

→ = 1 2 ( n + m ) sin ⁡ ( ( n + m ) x ) + 1 2 ( n - m ) sin ⁡ ( ( n - m ) x ) + C 3

Aqui apenas juntei as constantes como C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

∫ cos ⁡ n x cos ⁡ ( m x ) d x = 1 2 ( n + m ) sin ⁡ ( ( n + m ) x ) + 1 2 ( n - m ) sin ⁡ ( ( n - m ) x ) + C 3

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