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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 4.6

4.6. Calcule ∫ s en ⁡ 8 x cos ⁡ 5 x d x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral da função f x = sen ⁡ 8 x cos ⁡ 5 x .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para nos ajudar nos cálculos, temos que aplicar alguma identidade trigonométrica pra simplificar a nossa função de integração.

No caso, a identidade é dada por

s e n a cos ⁡ b = s e n a + b + s e n a - b 2

Sacou? Bora ver como fica no nosso caso! 😉

Passo 2

Aplicando a identidade na nossa função...

f x = sen ⁡ 8 x cos ⁡ 5 x = s e n 8 x + 5 x + s e n 8 x - 5 x 2

f x = s e n 1 3 x + s e n 3 x 2

Portanto, aplicando a integral nessa função...

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = ∫ s e n 13 x + s e n 3 x 2 d x

1 2 ∫ s e n 13 x + s e n 3 x d x

1 2 ∫ s e n 1 3 x d x + ∫ s e n 3 x d x

Pelo método de substituição, fazendo u = 1 3 x e d u d x = 13 → d x = 1 1 3 d u , a integral de s e n 1 3 x é dada por

∫ s e n 1 3 x d x → ∫ s e n u 1 1 3 d u

∫ s e n u 1 1 3 d u = - 1 1 3 cos ⁡ u

Agora fazendo v = 3 x temos d u d x = 3 → d x = 1 3 d v , a integral de s e n 3 x é dada por

∫ s e n 3 x d x → ∫ s e n v 1 3 d v

∫ s e n v 1 3 d v = - 1 3 cos ⁡ v

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo as integrais de s e n 1 3 x e s e n 3 x na integral do problema, vamos obter

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = 1 2 ∫ s e n 1 3 x d x + ∫ s e n 3 x d x

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = 1 2 - 1 13 cos ⁡ u + - 1 3 cos ⁡ v

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = - 1 2 1 13 cos ⁡ u + 1 3 cos ⁡ v + C

Voltando u para 13 x e v para 3 x , temos

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = - 1 2 1 13 cos ⁡ 13 x + 1 3 cos ⁡ 3 x + C

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ s e n 8 x cos ⁡ 5 x d x = - 1 2 1 13 cos ⁡ 13 x + 1 3 cos ⁡ 3 x + C

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