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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a nossa integral

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x tan 2 ⁡ x 2 sec 3 ⁡ x d x

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 2 sec 3 ⁡ x d x

Passo 2

Beleza! Agora vamos usar a técnica da substituição para resolver

u = sec ⁡ x

d u = tan ⁡ x sec ⁡ x   d x

Então ficamos com

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 2 sec 2 ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ u 2 - 1 2 u 2 d u

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ u 4 - 2 u 2 + 1 u 2 d u

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ u 6 - 2 u 4 + u 2 d u

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 7 u 7 - 2 5 u 5 + 1 3 u 3 + C

Refazendo a substituição

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 7 sec 7 ⁡ x - 2 5 sec 5 ⁡ x + 1 3 sec 3 ⁡ x + C

Resposta

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