UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1k
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver tangente com expoente ímpar substitui pelo equivalente a senos e cossenos (nesse caso, a secante também) e usa a identidade trigonométrica
Assim você vai poder colocar alguém como (seja seno ou cosseno) e o vai estar ali também!
Então a ideia aqui é transformar essa tangente/secante em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral indefinida é a seguinte:
Então vamos primeiro manipular esse integrando. Sabendo que e que ,
E usando a identidade trigonométrica
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos usar a substituição
Pois temos no numerador
Aí o integrando fica:
Assim ficamos com um integrando puramente polinomial!
Vamos separar em três integrais diferentes, todas com denominador , fazer as simplificações e #partiu integrar!
E agora voltando para , lembrando que :
E por fim, temos que , temos nosso resultado final:
Terminou? Não!
Calma, agora só falta aplicar nos limites de integração! Lembra que temos uma integral definida!
Passo 4
Nossa integral era:
Agora vamos usar o resultado do passo anterior e aplicar os limites:
Aí temos
Simplificando temos o resultado final:
Ufa agora sim terminamos!
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?