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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Exercício 421234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Calcule a seguinte integral

∫ s e n 3 ( x ) d x

Passo 1

Falaaa, tá bem? Como temos um seno simples elevado a um expoente ímpar, o bizu é a gente o reescrever, como um produto, deixando um terminho de seno sozinho, assim

s e n 3 x = s e n 2 x   s e n   x

Aí vamos usar aquela identidade trigonométrica famosa:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ∴ s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Nosso integrando fica assim:

s e n 3 x = s e n 2 x   s e n   x = 1 - cos 2 ⁡ x   s e n   x

Substituindo isso na nossa integral:

∫ s e n 3 x d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x   s e n   x d x

Passo 2

Percebe que agora a gente tem uma expressão estranha em cos ⁡ x , mas temos um seno sozinho ali fofo. Isso é uma dica para usarmos a substituição simples

u = cos ⁡ x ,     d u d x = - s e n   x ∴ d u - 1 = s e n   x   d x

∴

∫ 1 - cos 2 ⁡ x   s e n   x d x = ∫ 1 - u 2 d u - 1 =

= - ∫ 1 - u 2 d u = - u + u 3 3

Passo 3

Mas lembra que

u = cos ⁡ x

Então:

∫ s e n 3 x d x =

= ∫ 1 - cos 2 ⁡ x   s e n   x d θ = - u + u 3 3 = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3

Não esquecendo a constante de integração já que temos uma integral indefinida:

∫ s e n 3 x d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ s e n 3 x d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

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