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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Opa temos uma integral bem bonita né? Só que não... Vamos começar escrevendo aquela raiz como potência.

sec 3 ⁡ x = sec 3 / 2 ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x

Opa temos a nossa potência ali. Um dos casos que vimos na teoria é com a tangente elevado a um número ímpar. Não importa que a potência da secante seja essa parada meio louca.

Vamos lá

Passo 2

Temos que começar separando tg ⁡ x sec ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 - 1 ⁡ x sec - 3 / 2 - 1 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ tg 4 ⁡ x sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Vamos agora fazer

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

A nossa integral vai ficar

∫ sec 2 ⁡ x - 1 2 sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Agora fazemos

v = sec ⁡ x

Derivando

d v = sec ⁡ x tg ⁡ x d x

Vamos ter

∫ v 2 - 1 2 v - 5 / 2 d v

Passo 3

Vamos agora resolver essa integral, primeiro abrindo esse polinômio

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v

Agora vamos ter

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v = v 5 / 2 5 / 2 - 2 v 1 / 2 1 / 2 + v - 3 / 2 - 3 / 2 + C = 2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C

Passo 4

Precisamos voltar para x

v = sec ⁡ x

2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C = 2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

Resposta

2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

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