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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 4 – Alternativa b)

Usando que

cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

calcule:

b )   ∫ π / 4 π c o s ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( 7 x ) d x

Passo 1

Vamos continuar a questão! Bora lá!! O método continua o mesmo que o da questão anterior, mas mudando algumas coisinhas!

Passo 2

A primeira coisa é reescrever o nosso integrando utilizando a dica no enunciado! Temos que a = x e b = 7 x . Ou seja, temos que:

∫ π / 4 π cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 7 x ) d x = ∫ π / 4 π 1 2 ( cos ⁡ 8 x + cos ⁡ - 6 x ) d x

Precisamos aplicar propriedades do cosseno e da integração, belezinha?

Passo 3

De cara, nós temos que:

∫ b c cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x ​ b c = 1 a sin ⁡ ( a c ) - 1 a sin ⁡ ( a b )         ( 2 )

Já que agora temos limites de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Usando a propriedade (3), temos que:

∫ π / 4 π 1 2 ( cos ⁡ 8 x + cos ⁡ ( - 6 x ) ) d x = 1 2 ∫ π / 4 π cos ⁡ ( 8 x ) d x + 1 2 ∫ π 4 π cos ⁡ ( - 6 x ) d x

Se lembrarmos que cos ⁡ ( - 6 x ) = cos ⁡ ( 6 x ) , podemos aplicar (2) da seguinte forma:

1 2 ∫ π / 4 π cos ⁡ ( 8 x ) d x + 1 2 ∫ π 4 π cos ⁡ ( 6 x ) d x = 1 2 1 8 sin ⁡ ( 8 x ) ​ π 4 π + 1 2 1 6 sin ⁡ ( 6 x ) ​ π 4 π

Vamos só reescrever um pouquinho! E já era! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

1 2 1 8 sin ⁡ 8 x ​ π 4 π + 1 2 1 6 sin ⁡ 6 x ​ π 4 π = 1 16 sin ⁡ 8 x ​ π 4 π + 1 12 sin ⁡ 6 x ​ π 4 π = →

→ = 1 16 sin ⁡ 8 π - 1 16 sin ⁡ 8 π 4 + 1 12 sin ⁡ 6 π - 1 12 sin ⁡ 6 π 4 = →

→ = 1 16 sin ⁡ ( 8 π ) - 1 16 sin ⁡ 2 π + 1 12 sin ⁡ 6 π - 1 12 sin ⁡ ( 3 π 2 )

Se lembrarmos que sin ⁡ ( n π ) = 0 e que sin ⁡ ( 3 π / 2 ) = - 1 , temos que:

1 16 sin ⁡ ( 8 π ) - 1 16 sin ⁡ 2 π + 1 12 sin ⁡ 6 π - 1 12 sin ⁡ 3 π 2 = 0 - 0 + 0 - 1 12 - 1 = 1 12

Aí está! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

∫ π / 4 π c o s ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( 7 x ) d x = 1 12

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