Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado.

d) 4 - x 2           0,2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom, pede-se o comprimento de um arco, ou seja, o comprimento da linha de uma função de um ponto até o outro.

E o comprimento do arco que queremos saber é esse:

Que é a linha verde.

Duas coisas precisamos ter em mente quando queremos calcular o comprimento de um arco: saber derivar e a seguinte formula na qual aplicamos essa integração:

L = ∫ a b f ' x 2 + 1     d x

Onde f ( x ) é a função, “a” e “b” os limites de integração

Bom, já tendo a faca e o queijo na mão, vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos a função f x = 4 - x 2 , e derivando usando a regra da cadeia:

d d x 4 - x 2 = 1 2 1 4 - x 2 - 2 x = - x 4 - x 2

Agora vamos aplicas essa derivada na nossa fórmula do comprimento do arco.

L = ∫ a b - x 4 - x 2 2 + 1     d x

Vamos aplicar o limite dado:

L = ∫ 0 2 - x 4 - x 2 2 + 1     d x

Assim:

L = ∫ 0 2 x 2 4 - x 2 + 1     d x

Podemos deixar isso mais bonito, né?! Veja:

x 2 4 - x 2 + 1 = x 2 + 4 x - x 2 4 - x 2 = 4 4 - x 2 = 4 4 1 - x 2 4 = 1 1 - x 2 4  

Assim substituindo:

L = ∫ 0 2 1 1 - x 2 4     d x = ∫ 0 2 1 1 - x 2 4   d x

Passo 3

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Qual dessas que melhor se encaixa nesse caso?

Se escolheu cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1 escolheu certo, podemos fazer:

x 2 = sin ⁡ θ

Derivando:

d x d θ = 2 cos ⁡ θ → d x = 2 cos ⁡ θ   d θ

E quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, os limites de interação devem acompanhar essa substituição, ou seja:

q u a n d o       x = 2 → sin ⁡ θ = 2 2 → θ = π 2

q u a n d o   x = 0 → sin ⁡ θ = 0 → θ = 0

Assim a nossa equação fica:

L = ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ   d θ 1 - sin 2 ⁡ θ

Como dado antes cos ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

L = ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ   d θ cos ⁡ θ

Tirando os termos que se cortam:

L = ∫ 0 π 2 2   d θ = 2 θ 0 π 2 = 2 π 2 = π

∴ L = π

Portanto, o comprimento do arco vale π unidades

Valeu, carinha.

Resposta

L = π

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