Calcule as integrais abaixo.

o )   ∫ s e n ( 5 x ) s e n ( 2 x ) d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ s e n 5 x s e n 2 x d x

essa é um caso muito especial de integração. No nosso material está em “Métodos de Integração – Parte II: Integrais trigonométricas”, mas especificamente no caso 5:

e como resolvemos esses tipos de integrais? Usando as seguintes identidades trigonométricas:

Então a ideia aqui é transformar esse integrando que é um produto de trigonométricas em soma de funções trigonométricas, muito mais simples para integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar a seguinte coisa:

∫ s e n 5 x s e n 2 x d x

Então estamos no caso em que temos

∫ s e n ( x ' ) s e n ( y ' ) d x

Com x ' = 5 e y ' = 2 . Usando a terceira identidade

s e n x ' s e n y ' = 1 2 cos ⁡ x ' - y ' - cos ⁡ x ' + y '

E aí nosso integrando fica assim:

s e n 5 x s e n 2 x = 1 2 cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular a integral! Vamos lá?

Passo 3

A integral que temos para resolver é:

∫ s e n 5 x s e n 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x d x

Integrando temos:

= 1 2 1 3 s e n 3 x - 1 7 s e n 7 x = s e n 3 x 6 - s e n 7 x 14 + C

Não esquece de acrescentar o + C no final! Estamos calculando uma integral indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

s e n 3 x 6 - s e n 7 x 14 + C

Exercícios de Livros Relacionados