Analise a continuidade da função:

f x = 3 x + 2     s e     x < - 2 - x 2   s e   - 2 < x < 1 x + 1     s e     x ≥ 1

  1. É contínua nos dois pontos
  2. É contínua em x = 1 e descontínua em x = - 2
  3. É contínua em x = - 2 e descontínua em x = 1
  4. É descontínua nos dois pontos

Passo 1

Beldades, bem vindos ao mundo da continuidade! Nesse mundo, temos que investigar dois pontos que o enunciado determinou:

x = - 2

x = 1

Para investigar se a função é contínua em um ponto, temos que provar que o limite tanto pela direita do ponto quanto pela esquerda, são iguais. Ou seja, vamos testar se:

l i m x → - 2 - = l i m x → - 2 +

E

l i m x → 1 - = l i m x → 1 +

Vamos fazer devagar todos os passos! Vamos juntos!

Passo 2

Começando pelos limites laterais de x = - 2 :

l i m x → - 2 - f x

Qual é a função para x menor que - 2 ? É determinada na nossa função por partes lá do enunciado:

f x =   3 x + 2     s e     x < - 2

Então nosso limite pela esquerda é:

lim x → - 2 - ⁡ 3 x + 2

Fazendo substituição:

lim x → - 2 - ⁡ 3 x + 2 = 3 ⋅ - 2 + 2 = - 6 + 2 = - 4

Agora indo pelo outro lado, o limite pela direita é:

l i m x → - 2 + f x

Olhando novamente para a função determinada por partes, sabemos que a função f ( x ) é:

f x = - x 2   s e   - 2 < x < 1

O limite pela direita se torna:

lim x → - 2 + ⁡ - x 2

Fazendo substituição:

lim x → - 2 + ⁡ - x 2 = - - 2 2 = - 4

Como os limites laterais são iguais:

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = - 4

Então temos uma continuidade no ponto x = - 2 !

Passo 3

Vamos fazer o mesmo passo a passo para x = 1 ! Olhando para a limite lateral pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ f x

Olhando para a função por partes, a função f ( x ) que corresponde a um valor menor que 1 :

lim x → 1 - ⁡ - x 2

Fazendo substituição:

lim x → 1 - ⁡ - x 2 = - 1 2 = - 1

No limite lateral pela direita, temos a função para valores maiores que 1 :

lim x → 1 + ⁡ f x

Aplicando a função f ( x ) :

lim x → 1 + ⁡ x + 1

Fazendo substituição:

lim x → 1 + ⁡ x + 1 = 1 + 1 = 2

Percebemos que os limites não são iguais:

l i m x → 1 - = - 1 ≠ l i m x → 1 + = 2

Logo, não existe continuidade nesse ponto!

Passo 4

Conclusões que chegamos:

  • Existe continuidade no ponto x = - 2
  • lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = - 4

  • Não existe continuidade no ponto x = 1

l i m x → 1 - = - 1 ≠ l i m x → 1 + = 2

Resposta certa é a letra “c”! Então nos vemos na próxima, um beijão!

Resposta

c) É contínua em x = - 2 e descontínua em x = 1

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5