Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista (sem usar a regra de L’Hospital). Justifique suas respostas.

(b)

lim x → 0 ⁡ s e n 1 x x 2 + cos ⁡ x + π 2

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Eita que essa aí dá um nozinho na cabeça né?!

Mas calmae que vai dar certinho, bora lá!!

Primeiramente temos que ter ideia que, independentemente do valor de y , o valor seno é um número entre - 1 e 1 (como mostra a figura abaixo), certo?

Em termos matemáticos, temos que

- 1 ≤ sen ⁡ y ≤ 1 ,   ∀   y   ∈ R

Observação: Note que nesse caso y = 1 x .

Passo 2

Dessa forma, é só pegar esse intervalo do seno que acabamos de ver adequar com a função que recebemos, se liga:

- x 2 + cos ⁡ x + π 2 ≤ s e n 1 x x 2 + cos ⁡ x + π 2 ≤ x 2 + cos ⁡ x + π 2

Agora vamos aplicar o limite!!

Passo 3

Assim, podemos aplicar o Teorema do Confronto, que diz que:

“Se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas”

Assim, vamos ver os limites dessas duas funções, ou seja:

lim x → 0 ⁡ - x 2 + cos ⁡ x + π 2 = 0

E

lim x → 0 ⁡ x 2 + cos ⁡ x + π 2 = 0

Dessa forma, podemos concluir que

lim x → 0 ⁡ s e n 1 x x 2 + cos ⁡ x + π 2 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

0

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