Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente, caso exista.

(a)

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 t g x

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos encontrar o limite!!

Mas antes perceba que se a gente apenas fazer x → 0 + , o limite terá uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ .

Assim, vamos primeiramente deixar na forma de uma só expressão... Desse jeitinho aqui:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 t g x = lim x → 0 + ⁡ t g x - x x ∙ t g ( x )

Novamente, se fizermos x → 0 + , o limite resultará em outra indeterminação, dessa vez do tipo 0 0 .

Dessa forma, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, em que derivamos o numerador e o denominador para aplicarmos o limite em seguida.

Então bora lá!!

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x → 0 + ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 t g x + x ∙ sec 2 ⁡ x =

lim x → 0 + ⁡ t g 2 ( x ) t g x + x + x ∙ t g 2 x

Ao aplicarmos o limite, também teremos outra indeterminação do tipo 0 0 .

Nesse sentido, vamos aplicar a Regra de L’Hospital novamente!!

Passo 3

Então, temos que:

lim x → 0 + ⁡ 2   t g x sec 2 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) + 1 + t g 2 x + 2 t g x + sec 2 ⁡ ( x ) = 0 2 = 0

Dessa forma, podemos concluir que:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 t g x = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 t g x = 0

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