Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente, caso exista.

(a)

lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos encontrar o limite!!

Mas antes perceba que se a gente apenas fazer x → 0 + , o limite terá uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ .

Assim, vamos primeiramente deixar na forma de uma só expressão... Desse jeitinho aqui:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 t g x = lim x → 0 + ⁡ x - s e n   x x ∙ s e n ( x )

Novamente, se fizermos x → 0 + , o limite resultará em outra indeterminação, dessa vez do tipo 0 0 .

Dessa forma, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, em que derivamos o numerador e o denominador para aplicarmos o limite em seguida.

Então bora lá!!

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x s e n   x + x cos ⁡ x

Ao aplicarmos o limite, também teremos outra indeterminação do tipo 0 0 .

Nesse sentido, vamos aplicar a Regra de L’Hospital novamente!!

Passo 3

Então novamente derivando o numerador e o denominador, temos que:

lim x → 0 + ⁡ s e n   x 2 cos ⁡ x - x   s e n   x = 0 2 = 0

Dessa forma, podemos concluir que:

lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x = 0

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