Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente, caso exista.

(b)

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Seguinte.. vamos utilizar o seguinte artifício:

u = e ln ⁡ u

Agora é aplicar esse artifício no limite!!! Bora lá ;)

Passo 2

Assim, temos:

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x 1 x 2

Utilizando a propriedade dos logaritmos, podemos passar aquele expoente para o denominador da fração... dessa forma:

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x x 2

Que também podemos fazer o seguinte:

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2

Passo 3

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, ou seja, derivando o numerador e o denominador para depois seguir com o limite, temos:

e lim x → 0 ⁡ - s e n   x cos ⁡ x 2 x ∴

e lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x

Aplicando L’Hospital novamente, temos:

e lim x → 0 ⁡ - sec 2 ⁡ x 2 ∴

e - 1 2 = 1 e

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = 1 e

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