Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente, caso exista.

(b)

lim x → π 2 - ⁡ tan ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Seguinte.. vamos utilizar o seguinte artifício:

u = e ln ⁡ u

Ou seja, aplicando na nossa função, temos:

tan ⁡ x cos ⁡ x = e ln ⁡ tan ⁡ x cos ⁡ x = e cos ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ x )

Agora é aplicar no limite!!! Bora lá ;)

Passo 2

Assim, temos:

lim x → π 2 - ⁡ e cos ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ x )

Rearranjando o expoente, podemos deixar ele da seguinte forma:

lim x → π 2 - ⁡ e ln ⁡ ( tan ⁡ x ) 1 cos ⁡ x

Passo 3

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, ou seja, derivando o numerador e o denominador para depois seguir com o limite, temos:

e lim x → π 2 - ⁡ 1 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x ∴

e lim x → π 2 - ⁡ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x ∴

e 0 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → π 2 - ⁡ tan ⁡ x cos ⁡ x = 1

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