Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente, caso exista.

(b)

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 1 1 3 ln ⁡ x

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Seguinte.. vamos utilizar o seguinte artifício:

u = e ln ⁡ u

Ou seja, aplicando na nossa função, temos:

2 x - 1 1 3 ln ⁡ x = e ln ⁡ 2 x - 1 1 3 ln ⁡ x = e 1 / 3 ln ⁡ x ln ⁡ ( 2 x - 1 )

Agora é aplicar no limite!!! Bora lá ;)

Passo 2

Assim, temos:

lim x → ∞ ⁡ e 1 / 3 ln ⁡ x ln ⁡ ( 2 x - 1 )

Rearranjando o expoente, podemos deixar ele da seguinte forma:

e lim x → ∞ ⁡ 1 3 ln ⁡ x ln ⁡ 2 x - 1

Passo 3

Rearranjando, temos:

e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x - 1 3 ln ⁡ x

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, ou seja, derivando o numerador e o denominador para depois seguir com o limite, temos:

e lim x → ∞ ⁡ 1 2 x - 1 2 x - 1 ' 3 x ∴

e lim x → ∞ ⁡ 2 2 x - 1 3 x ∴

e 1 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 1 1 3 ln ⁡ x = e 1 / 3

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