Para cada um dos itens a seguir, mostre que o limite existe ou não. Determine o limite caso exista.

lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ y 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 s e n π x + e y

lim x , y → 0 , 0 ⁡ x 2 ⋅ s e n x - y x 3 + y 2

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ x 4 ⋅ s e n   y 2 x 4 + y 2

Passo 1

Coisa importante de lembrarmos é que, para que um limite exista, ele precisa existir para qualquer caminho que tomamos para chegar ao ponto x 0 , y 0 .

Passo 2

(a) Primeiro vamos observar o domínio da nossa função. Assim sendo temos que, o fato de possuirmos um l n em nosso problema, implica que

x > 0

Perceba que não há restrições para nosso y , sendo assim

D o m   f = x , y ∈ R 2 x > 0 }

Ou seja, podemos aplicar nosso limite tendendo a 1,0 .

Simplesmente aplicando o limite, temos que

lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ y 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 s e n π x + e y = 0 ⋅ ln ⁡ 1 - 3 s e n   π + e 0 = - 3

Passo 3

(b) Seguindo o mesmo procedimento que o item anterior, temos que x 3 + y 2 deve ser diferente de zero. Assim já temos que 0,0 é um ponto que não pertence ao nosso domínio.

Podemos ainda escrever que y ≠ - x 3 2

D o m   f = x , y ∈ R 2 | x , y ≠ x , - x 3 2

Legal que mesmo o ponto 0,0 não pertença ao nosso domínio da função, isso não quer dizer necessariamente que a função não seja contínua neste ponto.

Diferente do que fizemos no item anterior, não podemos simplesmente substituir nosso ponto na função, já que acabamos de ver que ele não pertence a função, mas nada nos impede de trabalhar analisando alguns caminhos distintos.

Vamos seguir dois caminhos, γ 1 t = 0 ,   t , (esse aqui pode viu gente), e o outro caminho γ 2 t = t , 0 , na qual tendendo t → 0 , temos que γ 1 t = γ 2 t → 0,0 .

Então

lim t → 0 ⁡ f γ 1 t = lim t → 0   ⁡ 0 ⋅ s e n ( 0 ) t 2 = lim t → 0   ⁡ 0 = 0    

Legal. Agora por outro caminho

lim t → 0 ⁡ f γ 2 t = lim t → 0   ⁡ t 2 ⋅ s e n t t 3 = lim t → 0   ⁡ s e n t t = 1  

Limite fundamental. Lembra?

Assim temos dois caminhos distintos, na qual o limite deu valores diferentes. Logo dizemos que o limite não existe.

Passo 4

(c) Novamente analisando o domínio da nossa função, temos que o ponto 0,0 não pertence ao domínio, mas isso não quer dizer que a função não seja contínua no ( 0,0 ) . Vamos verificar?

Primeiro vamos reescrever nossa função como

x 4 ⋅ s e n   y 2 x 4 + y 2 = x 4 2 x 4 + y 2 ⋅ s e n   y

Assim observe que

0 ≤ x 4 ≤ 2 x 4 + y 2

Dividindo tudo por 2 x 4 + y 2 , temos

0 ≤ x 4 2 x 4 + y 2 ≤ 1

Ou seja, temos uma função limitada, enquanto o s e n   y tende a 0 quando y → 0 . Lembra Teorema do Confronto? Se temos uma função limitada vezes uma fução que vai pra zero, é sempre nula, ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 ⋅ s e n   y 2 x 4 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 2 x 4 + y 2 ⋅ s e n   y = T C = 0

Logo temos que nosso limite existe e da 0 , mesmo o ponto 0,0 sendo um ponto não pertencente ao domínio.

Resposta

  1. - 3
  2. Não existe
  3. 0

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