Para cada um dos itens a seguir, mostre que o limite existe ou não. Determine o limite caso exista.

(a) Primeiro vamos observar o domínio da nossa função. Assim sendo temos que, o fato de possuirmos um em nosso problema, implica que

Perceba que não há restrições para nosso , sendo assim

Ou seja, podemos aplicar nosso limite tendendo a .

Simplesmente aplicando o limite, temos que

(b) Seguindo o mesmo procedimento que o item anterior, temos que deve ser diferente de zero. Assim já temos que é um ponto que não pertence ao nosso domínio.

Podemos ainda escrever que

Legal que mesmo o ponto não pertença ao nosso domínio da função, isso não quer dizer necessariamente que a função não seja contínua neste ponto.

Diferente do que fizemos no item anterior, não podemos simplesmente substituir nosso ponto na função, já que acabamos de ver que ele não pertence a função, mas nada nos impede de trabalhar analisando alguns caminhos distintos.

Vamos seguir dois caminhos, , (esse aqui pode viu gente), e o outro caminho , na qual tendendo , temos que .

Então

Legal. Agora por outro caminho

Limite fundamental. Lembra?

Assim temos dois caminhos distintos, na qual o limite deu valores diferentes. Logo dizemos que o limite não existe.

(c) Novamente analisando o domínio da nossa função, temos que o ponto não pertence ao domínio, mas isso não quer dizer que a função não seja contínua no . Vamos verificar?

Primeiro vamos reescrever nossa função como

Assim observe que

Dividindo tudo por , temos

Ou seja, temos uma função limitada, enquanto o tende a quando . Lembra Teorema do Confronto? Se temos uma função limitada vezes uma fução que vai pra zero, é sempre nula, ou seja

Logo temos que nosso limite existe e da , mesmo o ponto sendo um ponto não pertencente ao domínio.