Para cada a > 1 , o número positivo ln(a) pode ser caracterizado como área da região

limitada pelo eixo O x , pelas retas verticais x = 1 e x = a e pelo gráfico da função

g(t) = 1 / t . Por exemplo, o número ln(4) é a área da região compreendida entre o gráfico

da função g e as retas y = 0, x = 1, e x = 4 . Na figura foram destacados ainda três

retângulos de base unitária cujas alturas são g(2), g(3) e g(4) .

(a) Determine as areas A1, A2 e A3 dos retângulos indicados,

e faça sua soma.

(b) Usando o resultado anterior, justifique a desigualdade

ln(4) > 1 .

(c) Dada uma constante M > 0 arbitrariamente grande,

mostre que se x > 4^M ,então ln(x) > M .

Conclua daí que: l_i m(x → ∞) ln x = ∞ .

(d) Sabendo que para todo x > 0 tem-se e^x > ln(x)

investigue a existência de li_m(x→∞) e^x .

(e) Lembre que e^(-x) = 1 / e^(x) e calcule li_m(x→∞) = e^(-x) . Esboce o gráfico das funções

e^x, ln(x), e^(-x)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão é muito bacana, ela é um roteiro que introduz a noção de integral, e o jeito de utilizarmos funções contínuas para obtermos relações de funções discretas.

Bem, então vamo começar pela letra a)

Passo 2

Nosso objetivo na letra a) é calcular a área dos retângulos A 1 ,   A 2   e   A 3 . Suas áreas serão sua base vezes a altura, logo:

A 1   =   1 * g ( 2 )

=   1 / 2

A 2   =   1 * g ( 3 )

=   1 / 3

A 3   =   1 * g ( 4 )

=   1 / 4

Então a soma será:

A 1   + A 2   + A 3   =   1 / 2   +   1 / 3   +   1 / 4    

Passo 3

Agora vamos fazer a letra b). Queremos mostrar que l n ( 4 )   >   1 . Usando o fato descrito no enunciado que diz que l n ( a ) pode ser caracterizado como área da região

limitada pelo eixo O x , pelas retas verticais x   =   1   e   x   =   a e pelo gráfico da função

g ( t )   =   1 / t . Temos que A 1   + A 2   + A 3     será uma aproximação da área limitada pelo eixo O x , pelas retas verticais x   =   1   e   x   =   4 e pelo gráfico da função g ( t )   =   1 / t , e será menor. Então,

l n ( 4 )   >   A 1   + A 2   + A 3

=   1 / 2   +   1 / 3   +   1 / 4

≃ 1.08

Então l n ( 4 )   >   1

Bacana, né?

Passo 4

Podemos fazer a letra c) agora. Ela pede para mostrar que: Dada uma constante   M   >   0 arbitrariamente grande, mostre que se x   >   4 M ,então l n ( x ) >   M .

Mas como vamos fazer isso? Podemos usar o resultado da questão anterior!!!! temos que se

x   >   4 M

(aplicando o log)

l o g ( x )   >   l o g ( 4 M )

(a desigualdade se mantém pois como o log é definido como a soma de áreas positivas ele será uma função crescente)

l o g ( x )   >   M * l o g ( 4 )

(usando o resultado do passo anterior)

l o g ( x )   >   M * 1

Mas se isso ocorrer, então sempre podemos escolher um M ´ > M tal que se x > 4 M ´ então

l o g ( x )   >   l o g ( 4 M ´ ) > l o g ( 4 M )

Isso quer dizer que l o g ( x ) é ilimitada. Ou seja l i m x → ∞ l o g ( x )   =   ∞

Passo 5

No passo anterior, mostramos que l o g ( x ) é uma função ilimitada. Agora vamos usar esse resultado para fazer a letra d).

Essa letra pede para investigar a existência de   l i m x → ∞   e x .Sabendo que para todo x > 0 tem-se e x   >   l n ( x ) .

Bem, no passo anterior, mostramos que

l i m x → ∞ l o g ( x )   =   ∞

Ora, mas se e x   >   l n ( x ) então

l i m x → ∞   e x   =   ∞

tranquilinho, né?

Passo 6

Para finalizarmos essa questão, só nos resta fazer a letra e). Ela pede o seguinte:

calcule   l i m x → ∞   e - x . E esboce o gráfico das funções e x ,   l n ( x ) ,   e - x

Vamos começar calculando l i m x → ∞   e - x .

l i m x → ∞   e - x   = l i m x → ∞   1 / e x  

mas vimos no passo anterior que e x converge para o infinito quando x for grande. Então 1 / e x será alguma coisa pequena dividida por algo que cresce ilimitadamente (muito grande). Logo 1 / e x será bem próximo de zero. isto é:

l i m x → ∞   e - x   =   0

Agora podemos esboçar os gráficos das funções:

Temos que e x é uma função sempre positiva, crescente (e muito) e ilimitada. então seu gráfico será:

Para o gráfico de e - x podemos usar o gráfico de e x e espalhá lo em relação ao eixo O y , pois e x   =   ( e - ( - x ) )

e por último o gráfico de l o g ( x ) . Sabemos que o gráfico será crescente, e sempre menor que e x , mas não cresce na mesma intensidade que e x .

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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