Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.

  1. lim x → 1 ⁡ x + 2
  2. lim x → 2 ⁡ x 2 + x x + 3
  3. lim x → 0 ⁡ x 2 + x x
  4. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  5. lim x → - 1 ⁡ - x 2 - 2 x + 3
  6. lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3
  7. lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 x - 1 x 2 + 2
  8. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h
  9. lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1
  10. lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 1
  11. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  12. lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1
  13. lim x → 0 ⁡   x
  14. lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2
  15. lim x → 2 + ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )
  16. lim x → 2 ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )

Passo 1

Boraaa resolver essa comigooo

Irei vou explicar o processo teórico por trás do cálculo desse limite utilizando a definição formal de limite.

O limite é um conceito fundamental em matemática que descreve o comportamento de uma função à medida que a variável independente (geralmente denotada por x ) se aproxima de um determinado valor (geralmente denotado por a ).

Escrevemos o limite da função f ( x ) à medida que x se aproxima de a da seguinte maneira:

lim x → a ⁡ f ( x )

Passo 2

No exercício em questão, estamos interessados em calcular o limite da função f x = x - 1 x - 1 quando x se aproxima de a = 1 pela direita x → 1 +

A expressão x - 1 x - 1 pode ser interpretada como a razão entre duas quantidades idênticas x - 1

No entanto, a questão é como essa expressão se comporta quando x se aproxima de 1 pela direita.

Quando x está ligeiramente maior que 1, a diferença x - 1 é positiva.

Nesse caso, o valor absoluto x - 1 é igual a x - 1 .

Portanto, a expressão se torna:

x - 1 x - 1

Passo 3

Aqui, a fração x - 1 x - 1   é igual a 1, desde que x - 1 seja diferente de zero (o que é verdade quando x   está próximo de 1 pela direita).

Consequentemente, quando x se aproxima de 1 pela direita, a função f x = x - 1 x - 1 se aproxima de 1.

Portanto, o limite da função f ( x ) quando x se aproxima de 1 pela direita é:

lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1

Neste caso, o limite existe e é igual a 1.

A justificação para a existência do limite se baseia na análise das propriedades do valor absoluto e na simplificação direta da expressão quando x   se aproxima de 1 pela direita.

Resposta

1

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5