Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.

  1. lim x → 1 ⁡ x + 2
  2. lim x → 2 ⁡ x 2 + x x + 3
  3. lim x → 0 ⁡ x 2 + x x
  4. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  5. lim x → - 1 ⁡ - x 2 - 2 x + 3
  6. lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3
  7. lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 x - 1 x 2 + 2
  8. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h
  9. lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1
  10. lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 1
  11. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  12. lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1
  13. lim x → 0 ⁡   x
  14. lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2
  15. lim x → 2 + ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )
  16. lim x → 2 ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )

Passo 1

Oi cremosos, bora resolver essa bem deboinhaaa??

Vou explicar o processo teórico por trás do cálculo desse limite utilizando a definição formal de limite e a análise das propriedades da função definida por partes.

A definição formal de limite diz que o limite de uma função f ( x ) quando x se aproxima de um valor a é L , denotado por:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

No exercício em questão, estamos interessados em calcular o limite da expressão f x - f 1 x - 1   quando x se aproxima de a = 1 pela direita ( x → 1 + )

Primeiro, vamos analisar a função definida por partes:

lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1

Passo 2

Para calcular f ( 1 ) , observamos que o valor de f x é a primeira parte da definição, ou seja, x + 1 , quando x é maior ou igual a 1.

Portanto, f 1 = 1 + 1 = 2 .

Agora, vamos calcular o limite à medida que x se aproxima de 1 pela direita:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1

Para x   próximo de 1 pela direita, a função f ( x ) se comporta como x + 1 , pois x é maior ou igual a 1 nesse intervalo.

Substituindo isso na expressão:

x + 1 - 2 x - 1

Simplificando, obtemos:

x - 1 x - 1 = 1

Passo 3

Isso significa que, à medida que x se aproxima de 1 pela direita, a expressão f x - f 1 x - 1   se aproxima de 1.

Portanto, o limite da expressão f x - f 1 x - 1 quando x se aproxima de 1 pela direita é 1 .

Neste caso, o limite existe e é igual a 1.

A justificação para a existência do limite se baseia na análise da função definida por partes e na simplificação da expressão utilizando o comportamento da função f ( x ) conforme x se aproxima de 1 pela direita.

Resposta

1

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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5