Calcule, caso exista

c )   lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1    

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x x - 1    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim nossa missão é retirar esse expoente aplicando logaritmo e exponencial nessa função! Após isso precisamos identificar se a indeterminação fica do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Aplicando logaritmo na função

ln ⁡ ln ⁡ x x - 1 = x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

E exponencial

e x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x

E agora aplicar o limite no expoente da exponencial, já que esse operador é linear

lim x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x     = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x - 1    

Agora sim podemos aplicar a regra de L’hopital

lim x → 1 + ⁡ 1 x ln ⁡ x - 1 x - 1 2     = ∞ ∞

Opa! Vamos precisar aplicar novamente a regra!

Passo 3

Organizando esse limite temos

lim x → 1 + ⁡ 1 x ln ⁡ x - 1 x - 1 2   = lim x → 1 + ⁡ - x - 1 2 x ln ⁡ x    

Derivando novamente temos

= lim x → 1 + ⁡ - 2 x + 2 ln ⁡ x + 1    

E avaliando no limite

= - 2 + 2 ln ⁡ 1 + 1 = 0 1 = 0

E agora? Agora vamos colocar esse resultado na exponencial!

e lim x → 1 + ⁡ x - 1 ln ⁡ ln ⁡ x     = e 0 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1

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