Calcule, caso exista

s )   lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctan ⁡ 2 x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctan ⁡ 2 x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 1 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 arctan ⁡ 2 x     = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 1 + 3 x 1 arctan ⁡ 2 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 arctan ⁡ 2 x ln ⁡ ( 1 + 3 x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 + ⁡ 1 arctan ⁡ 2 x ln ⁡ ( 1 + 3 x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 + ⁡ 1 arctan ⁡ 2 x ln ⁡ ( 1 + 3 x )  

Substituindo o x por 0 + ainda encontramos uma indeterminação do tipo 0 0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 1 + 3 x ) arctan ⁡ 2 x   = lim x → 0 + ⁡ 1 1 + 3 x ( 3 ) 2 4 x 2 + 1   = lim x → 0 + ⁡ 3 ( 4 x 2 + 1 ) 2 ( 1 + 3 x )  

Agora avaliando em zero temos

= 3 ( 0 + 1 ) 2 ( 1 + 0 ) = 3 2

E retornando para a exponencial

e 3 / 2

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 3 / 2

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