Calcule, caso exista

t )   lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x x     = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ e x ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )  

Substituindo o x por 0 + ainda encontramos uma indeterminação do tipo 0 . ∞ , mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )   = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x ) 1 x  

e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x ) 1 x   = lim x → 0 + ⁡ 1 1 - cos ⁡ x ( sin ⁡ x ) - 1 x 2   = lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x cos ⁡ x - 1  

Avaliando novamente no limite, achamos ainda uma indeterminação do tipo 0 0 , e por isso vamos aplicar novamente a regra de L’hospital! Derivando novamente temos

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x cos ⁡ x - 1   = lim x → 0 + ⁡ 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x - sin ⁡ x    

Passo 4

Opa! Avaliando novamente o limite encontramos a mesma indeterminação! Isso significa que precisamos aplicar de novo a regra! Sendo assim, derivando em cima e embaixo temos

lim x → 0 + ⁡ 2 x sin ⁡ x + x 2 cos ⁡ x - sin ⁡ x     = lim x → 0 + ⁡ 2 sin ⁡ x + 4 x cos ⁡ x - x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x  

Avaliando no limite temos

0 - 1 = 0

E retornando para a exponencial

e 0 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1

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