38. Calcule, caso exista lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 , onde f é dada por

a) f x = x 2 sen ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 0   s e   x = 0

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 onde f x = x 2 sen ⁡ 1 x pra quando x é diferente de zero e, quando x é igual a zero f 0 = 0 .

Como temos uma função seno, vamos lembrar que ela varia de -1 a 1, então:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Agora, com uma desigualdade com 3 funções, e a do meio é a sen ⁡ 1 x , vamos usar o Teorema do Confronto, que diz que se temos as funções p x ,   q x e r ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ p ( x ) = lim x → a ⁡ r x = L

E:

p x ≤ q x ≤ r x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ q x = L

Passo 2

Queremos calcular lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 , então substituindo:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 0 x - 0

= lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x x

= lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 3

Agora vamos usar a informação de que o seno varia de -1 a 1:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando por x em cada parte:

- 1 x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ 1 ( x )

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

E aplicando o limite, com x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

Conseguimos calcular os limites das pontas: lim x → 0 ⁡ - x = 0 e lim x → 0 ⁡ x = 0 . Então:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = 0

Resposta

0

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