Calcule, caso exista

r )   lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 1 ln ⁡ x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 1 ln ⁡ x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 1 ln ⁡ x     = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sin ⁡ x 1 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e 1 ln ⁡ x sin ⁡ x    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ x sin ⁡ x  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ x sin ⁡ x  

Substituindo o x por 0 + ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ x sin ⁡ x   = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x  

Agora sim temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 x   = lim x → 0 + ⁡ x cos ⁡ x   = 0

E retornando para a exponencial

e 0 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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