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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 2i

Calcule, caso exista

i )   lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x tan ⁡ x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x tan ⁡ x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 0

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x tan ⁡ x     = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ ( x sin ⁡ x ) tan ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e tan ⁡ x . ln ⁡ x sin ⁡ x    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x . ln ⁡ x sin ⁡ x  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x . ln ⁡ ( x sin ⁡ x )   = lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x . ln ⁡ x sin ⁡ x  

Substituindo o x por 0 + ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x . ln ⁡   x sin ⁡ x   = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x sin ⁡ x ) 1 tan ⁡ x  

Agora sim temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 + ⁡ 1 x sin ⁡ x ( sin ⁡ x + x cos ⁡ x ) - csc 2 ⁡ x   = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x + x cos ⁡ x - csc 2 ⁡ x . ( x sin ⁡ x )  

Continuamos tendo uma indeterminação, então vamos aplicar a regra novamente

lim x → 0 + ⁡ 2 cos ⁡ x - x sin ⁡ x csc ⁡ x x cot ⁡ x - 1   = 2 ∞ = 0

Tudo bem? E por fim vamos retornar para a exponencial

e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x . ln ⁡ x sin ⁡ x   = e 0 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1

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