Calcule, caso exista

u )   lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 1 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2     = lim x → 1 - ⁡ e ln ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ e tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )   = lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) 1 tan ⁡ π x 2  

Substituindo o x por 0 ainda encontramos uma indeterminação do tipo 0 0 , podemos aplicar L’hospital! Então já tá melhor!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) 1 tan ⁡ π x 2   = lim x → 1 - ⁡ - 1 2 - x - π 2 csc 2 ⁡ π x 2  

Avaliando agora essa nova expressão no limite

lim x → 1 - ⁡ 2 π 1 ( 2 - x ) csc 2 ⁡ π x 2   = 2 π . 1 = 2 π

Tudo bem? E por fim vamos retornar para a exponencial

e lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )   = e 2 / π

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 2 / π

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