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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 2n

Calcule, caso exista

n )   lim x → π 2 + ⁡ tan ⁡ x sec ⁡ x - sec 2 ⁡ x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → π 2 + ⁡ tan ⁡ x sec ⁡ x - sec 2 ⁡ x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo ∞ - ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → π 2 + ⁡ tan ⁡ x sec ⁡ x - sec 2 ⁡ x     = lim x → π 2 + ⁡ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x     = lim x → π 2 + ⁡ sin ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x    

Substituindo o x por π 2 + temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 agora é só aplicar a regra de l’hospital!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → π 2 + ⁡ sin ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x     = lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 2 cos ⁡ x sin ⁡ x    

Substituindo novamente o limite encontramos indeterminação de novo 0 / 0 , então vamos aplicar a regra novamente! Derivando em cima e embaixo temos

lim x → π 2 + ⁡ - sin ⁡ x - 2 sin ⁡ x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x cos ⁡ x     = lim x → π 2 + ⁡ - sin ⁡ x - 2 cos ⁡ 2 x    

Aplicando em π 2 + temos

= - sin ⁡ π 2 - 2 cos ⁡ 2 π 2 = - 1 - 2 - 1 = 1 2

Ufa! Terminamos!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 2

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