UFES, 2018.1, Lista 4, Q09
9) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Fala Pessoal!!
Mais um limite para a gente resolver, e o primeiro passo já está na ponta da língua.
Vamos fazer no limite e testar se é possível resolver assim:
Isso é uma indeterminação matemática, então não dá para fazer desse jeito. Mesmo que quase sempre dê uma indeterminação, esse passo é bem importante e precisamos testar na resolução de todos os limites.
Passo 2
Já que deu uma indeterminação, a ideia agora é tentar retirá-la. Então, vamos chamar a nossa amiga fatoração, até porque esse e ( são bonitos demais para estarem aí por coincidência, certo?
Lembra que:
Então, bora manipular essa continha do limite, para deixar tudo em uma fração só:
Opa, resultado interessante. Consegue perceber que a indeterminação no limite está sendo causada justamente pelo termo ? E pelo que desenvolvemos, não conseguimos tirar essa indeterminação do denominador, ou seja, esse limite realmente está indo para .
A questão acabou então? Nããoo. Lembra que o limite ainda pode não existir se os limites laterais forem diferentes.
Passo 3
Vamos então calcular esses limites laterais e verificar se eles são iguais ou não.
- :
Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente para descobrir se o limite vai tender a Então:
- Se , então
- Se , então , ou seja, tende a um número muito muito próximo de zero, mas que é maior do que ele.
Logo, a divisão deverá resultar em um número que tende a .
Vamos novamente separar a análise em numerador e denominador:
- Se , então
- Se , então , ou seja, tende a um número muito próximo de zero, mas que é menor do que ele.
Logo, a divisão deverá resultar em um número que tende a +.
Opa, olha que interessante.
Os limites laterais são diferentes, e quando isso acontece dizemos que o limite não existe.
Prontinho, viu como foi importante fazer a análise dos limites laterais?! Vamos guardar essa ideia!!
Resposta
não existe.