Calcule o limite, se existir,

li(m_x→0) = (e^x - e^(-x) - 2x) / (x - sen x)

Passo 1

Oiiiii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um?

Temos que encontrar o valor do limite

l i m x → 0 e x -   e - x - 2 x x -   s i n   x

Logo de cara quando tentamos substituir x = 0 na expressão obtemos uma indeterminação do tipo 0 0 . Assim vamos utilizar a regra de L ‘Hôpital quantas vezes forem necessárias para resolver esse limite. A regra de L’ Hôpital diz

l i m f ( x ) g ( x ) = l i m f ' ( x ) g ' ( x )    

Ou seja, temos que derivar em cima e embaixo na função.

Aplicando a regra encontramos que:

=   l i m x → 0 ( e x -   e - x - 2 x ) ' ( x -   s i n   x ) '

Lembrando que ( e - x ) ' =   - e - x e que s i n x   ' =   c o s   x

=   l i m x → 0 e x   +   e - x - 2 1 - c o s c o s   x  

Ainda continuamos obtendo indeterminação ao substituir x = 0 , desse modo iremos fazer o uso da regra de L’ Hôpital novamente....

l i m x → 0 ( e x +   e - x - 2 ) ' ( 1 - c o s c o s   x ) '  

= l i m x → 0 e x -   e - x - ( - s i n s i n   x   )

Não podemos esquecer que c o s   x   ' =   -   s i n ⁡ x

= l i m x → 0 e x -   e - x s i n s i n   x  

Passo 2

Como continuamos obtendo indeterminações, vamos utilizar a regra de L'Hôpital e torcer para que seja a última vez!!!!!

= l i m x → 0 ( e x -   e - x ) ' x   ) '

= l i m x → 0 e x +   e - x c o s   x

= l i m x → 0 e 0 +   e - 0 c o s   0

=   l i m x → 0 1 +   1 1

=   l i m x → 0 2 1

= 2

Lembrete!

O limite de uma constante é a própria constante.

Tudo tranquilinho??? Show! Bora fazer mais! 😊

Resposta

2

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