Calcule os limites abaixo, se existirem

c )   lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1

Passo 1

Oi Galera! Vou ajudar aqui!

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1

Substituindo x = - 1 na função dentro do limite temos:

( - 1 ) 3 + 1 ( - 1 ) 2 - 1 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

Passo 3

Uma das raízes do numerador x 3 + 1 é - 1 . Então se a gente dividir esse polinômio por x + 1 vamos ter um polinômio de grau 2. E daí podemos reescrever esse numerador como a multiplicação e dois fatores:

x 3 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

(pra você confiar que sua divisão está correta, é só fazer a multiplicação com produto notável do lado direito e verificar que é igual ao lado esquerdo)

Agora o denominador: x 2 - 1

Esse polinômio a gente já viu em outros carnavais e as raízes são - 1 e + 1 . Então na forma fatorada fica assim:

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

E dividindo o numerador pelo denominador na forma fatorada temos:

x 3 + 1 x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 )

Beleza?

Passo 4

Agora vamos pegar essa nova expressão do limite que queremos calcular e substituir x por - 1 :

lim x → 2 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1 = lim x → 2 ⁡ ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 ) = ( - 1 ) 2 - 1 . ( - 1 ) + 1 - 1 - 1 = - 3 2

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Até a próxima!

Resposta

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