Calcule os limites abaixo, se existirem

a )   lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4

Passo 1

E ai, tudo bem? Vamos resolver essa?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio...aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4

Substituindo x = 2 na função dentro do limite temos:

2 3 - 8 2 2 - 4 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

Passo 3

Uma das raízes do numerador x 3 - 8 é 2 . Então se a gente dividir esse polinômio por x - 2 vamos ter um polinômio de grau 2. E daí podemos reescrever esse numerador como a multiplicação e dois fatores:

x 3 - 8 = ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )

(pra você confiar que sua divisão está correta, é só fazer a multiplicação com produto notável do lado direito e verificar que é igual ao lado esquerdo)

Agora o denominador: x 2 - 4

Esse polinômio a gente já viu em outros carnavais e as raízes são - 2 e + 2 . Então na forma fatorada fica assim:

x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 )

E dividindo o numerador pelo denominador na forma fatorada temos:

x 3 - 8 x 2 - 4 = x - 2 x 2 + 2 x + 4 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = x 2 + 2 x + 4 ( x + 2 )

Beleza?

Passo 4

Agora vamos pegar essa nova expressão do limite que queremos calcular e substituir x por 2 :

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4 = lim x → 2 ⁡ x 2 + 2 x + 4 ( x + 2 ) = 2 2 + 2.2 + 4 2 + 2 = 12 4 = 3

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Tudo certinho até agora?

Espero ter ajudado!

Resposta

3

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