Calcule os limites abaixo, se existirem

m )   lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 - 1

Passo 1

E aí galera, tudo bem? Vamos resolver essa junto?

Se a gente substituir x = 1 nessa função vamos ter 0 / 0 , o que é uma indeterminação e nos indica que precisamos manipular a função até levantar esse ponto onde ela não existe.

Olha os truques sujos vindo aí!

Quando temos uma raiz (ainda mais cúbica) a estratégia é: mudança de variável!

Vamos dizer que y = x 3 , sendo assim x = y 3 !

Bem mais simpático!

E daí temos que o numerador fica assim:

y 3 - 1 = ( y - 1 ) ( y 2 + y + 1 )

E aí se você olhar com carinho, tem o mesmo y - 1 no denominador! E aí é só cancelar!

Mas calma, esse truque não tirei da manga, tirei daqui:

Podemos fazer isso tudo isso porque a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

viu! Baita truque sujo! Anota aí!

Passo 2

Daí podemos substituir nossa mudança de variáveis na função:

x - 1 x 3 - 1 = y 3 - 1 y - 1 = y - 1 y 2 + y + 1 y - 1 = y 2 + y + 1

E como x → 1 , y = x 3 ,   y → 1 também.

Aí é só substituir no limite!

Passo 3

Trocando a função pela mais simples em y que achamos e fazendo y → 1 temos o seguinte

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 - 1 = lim y → 1 ⁡ y 2 + y + 1 = 1 2 + 1 + 1 = 3

É isso mesmo! Acabou! Levantamos a indeterminação e esse limite é igual a 3 !

Espero ter ajudado!

Resposta

3

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