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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.2 – Questão P3o

Calcule os limites abaixo, se existirem

o )   lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1

Passo 1

E ai, tudo bem? Vamos resolver essa?

PREPARA PRO TRUQUE MAIS SUJO DA VIDA (até agora kkk)

Quando a gente substitui x por 1 temos um 0 / 0 , e precisamos manipular essa função pra achar algum limite, certo?

Bom, antes vou te relembrar dois truquinhos aqui:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

a 4 - b 4 = a 2 - b 2 a 2 + b 2 = ( a - b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 )

Então assim, no numerador temos um x 3 , aí a ideia é usar a diferença dos cubos, e no denominador temos uma raiz quarta, aí vamos usar a diferença dos quartos.

Passo 2

Vamos começar manipulando o numerador. Se a gente chamar a = x 3 e b = 1 temos:

x 3 3 - 1 3 = x 3 - 1 . x 2 3 + x 3 + 1 = x - 1

Sendo assim seria muito interessante se aparecesse um x 2 3 + x 3 + 1 multiplicando o numerador. Assim quando multiplicar com x 3 - 1 dá x - 1 .

E podemos fazer isso! Mas temos que multiplicar E dividir pelo mesmo fator, aí a gente não muda nada da função e ainda consegue simplificar!

Agora vamos dar uma olhada no denominador. Se a gente chamar x 4 de a e b = 1 temos:

x 4 4 - 1 4 = x 4 + 1 x 4 - 1 x 2 4 + 1 = x - 1

Olha só! Encontramos o mesmo x - 1 ! E se a gente fizer aparecer um x 4 + 1 x 2 4 + 1 no denominador, fazendo a multiplicação, teremos um x - 1 e dá pra cortar com o do numerador e levantamos a indeterminação!

Então é isso que vamos fazer: multiplicar e dividir por x 4 + 1 x 2 4 + 1 e por x 2 3 + x 3 + 1 pra poder simplificar!

Passo 3

A função era assim:

x 3 - 1 x 4 - 1

Multiplicando a dividindo por x 4 + 1 x 2 4 + 1 e por x 2 3 + x 3 + 1 temos:

x 3 - 1 x 4 - 1 = x 3 - 1 x 4 - 1 × x 2 3 + x 3 + 1 x 4 + 1 x 2 4 + 1 × x 2 3 + x 3 + 1 x 4 + 1 x 2 4 + 1

A multiplicação das duas primeiras frações a direita é:

x 3 - 1 x 4 - 1 × x 4 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1

E temos lá do nosso truque sujo que

x 3 - 1 . x 2 3 + x 3 + 1 = x - 1

E que

x 4 + 1 x 4 - 1 x 2 4 + 1 = x - 1

Então:

x 3 - 1 x 4 - 1 × x 2 3 + x 3 + 1 x 4 + 1 x 2 4 + 1 = x - 1 x - 1 = 1

Arra! Agora nossa função ficou mais simples:

x 3 - 1 x 4 - 1 = x - 1 x - 1 . x 4 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 = x 4 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1

Só sobrou o segundo colchete!

Passo 4

Agora é só voltar pro nosso limite!

A gente tinha

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1

E daí manipulou essa função e simplificou ela:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1 = lim x → 1 ⁡ x 4 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1

x = 1 não tem uma indeterminação! E aí pra calcular esse limite basta substituir x por 1 :

lim x → 1 ⁡ x 4 + 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 = 1 4 + 1 1 2 4 + 1 1 2 3 + 1 3 + 1 = 2 2 ( 1 + 1 + 1 ) = 4 3

Belezinha?

Espero ter ajudado!

Resposta

4 3

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